ガンマフィクション

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数学入門
hiromiootani
暇なら読んでね
3/29/2020 11:32:02 AM

数式:ベータ関数をcos,sin変換して計算すると、 \begin{eqnarray} \frac{\Gamma(\frac{1}{4n})\Gamma(\frac{1}{4n})}{\Gamma(\frac{1}{2n})}&=&\int_{0}^{1}t^{\frac{1}{4n}-1}(1-t)^{\frac{1}{4n}-1}dt\\ &=&\int_{0}^{1}sin^{4n-1}\varphi cos^{4n-1}\varphi\frac{dsin^{2}\varphi}{dsin\varphi}\frac{sin\varphi}{d\varphi}d\varphi\\ &=&2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^{4n-1}\varphi cos^{4n-1}\varphi d\varphi\\ &=&2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\\ &=&\pi=\Gamma(1) \end{eqnarray} となり、\(\Gamma(\frac{1}{4n})\)の時、\(\sqrt[4n]{\pi}\)であることがわかる。 一般化すると、 \begin{eqnarray} \frac{\Gamma(\frac{1}{4n})\Gamma(\frac{1}{4n})}{\Gamma(\frac{1}{2n})}&=&\pi=\Gamma(1)\\ \Gamma(\frac{1}{4n})\Gamma(\frac{1}{4n})&=&\pi^{2}\\ \Gamma(\frac{1}{4n})&=&\pi\\ \Gamma(\frac{1}{4n})&=&\sqrt[4n]{\pi} \end{eqnarray} となる。

数式コード:\begin{eqnarray} \frac{\Gamma(\frac{1}{4n})\Gamma(\frac{1}{4n})}{\Gamma(\frac{1}{2n})}&=&\int_{0}^{1}t^{\frac{1}{4n}-1}(1-t)^{\frac{1}{4n}-1}dt\\ &=&\int_{0}^{1}sin^{4n-1}\varphi cos^{4n-1}\varphi\frac{dsin^{2}\varphi}{dsin\varphi}\frac{sin\varphi}{d\varphi}d\varphi\\ &=&2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^{4n-1}\varphi cos^{4n-1}\varphi d\varphi\\ &=&2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\\ &=&\pi=\Gamma(1) \end{eqnarray} となり、\(\Gamma(\frac{1}{4n})\)の時、\(\sqrt[4n]{\pi}\)であることがわかる。 一般化すると、 \begin{eqnarray} \frac{\Gamma(\frac{1}{4n})\Gamma(\frac{1}{4n})}{\Gamma(\frac{1}{2n})}&=&\pi=\Gamma(1)\\ \Gamma(\frac{1}{4n})\Gamma(\frac{1}{4n})&=&\pi^{2}\\ \Gamma(\frac{1}{4n})&=&\pi\\ \Gamma(\frac{1}{4n})&=&\sqrt[4n]{\pi} \end{eqnarray} となる。

解説:個人的な発見です。ガンマ関数とは書けません。修士論文に乗せるためのゼミの際、放送大学の学友にこれはガンマ関数では無いと言われ、反証されてしまったからです。しかし、これは、レイリージーンズの公式にも合致する値であり、物理的には3次元球の体積は通常言われているものと違い、上記の「ガンマフィクション」の値になると考えられます。繰り返しますが、ガンマ関数ではありません。なぜなら、定義に合わないからです。ガンマフィクション、と書いてしまいます。証明はE・アルティン氏のガンマ関数入門の式を変更したものです。定義に合わないというのは、そもそも論の収束性の値からして、ガンマ関数の積分値が左辺と右辺では異なり、等式が成り立たないらしいです。この方の言われる通り、間違いであれば私が恥をかくだけなので問題が無いのですが、球の求積計算を実際にやってみたところ、この値に近くなるという計算が出たので、一応、載せておきます。それも求積フィクションなら問題はありませんが・・・。まあ、間違いの場合、人間というものは間違いが認められない存在だということで・・・。ギリシャの三大問題のような妄想であれば幸いです。

出典等:ガンマ関数入門 E・アルティン

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