楕円

libraryspider

数学入門
hiromiootani
暇なら読んでね
11/16/2019 3:34:13 PM

数式:楕円の方程式を考える. \begin{eqnarray} \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{s}}{b^{2}}=1\\ \end{eqnarray} とすると, 三角不等式によって, \begin{eqnarray} (x^{2}+y^{2})&\leq&(a^{2}+b^{2})(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{s}}{b^{2}})\\ (x+y)^{2}&\leq&a^{2}+b^{2}\\ x+y&\leq&\sqrt[]{(a^{2}+b^{2})} \end{eqnarray} と導け, この最大値を求める. \begin{eqnarray} x+y&=&\sqrt[]{(a^{2}+b^{2})} \end{eqnarray} と置き, \begin{eqnarray} 1&=&\frac{a^{4}}{a^{2}(a^{2}+b^{2})}+\frac{b^{4}}{b^{2}(a^{2}+b^{2}}\\ 1&=&1 \end{eqnarray} とし, \(x=a^{2}\)及び\(y=b^{2}\)を仮定すると, \begin{eqnarray} x+y&=&\sqrt[]{(a^{2}+b^{2})}\\ \frac{a^{2}}{\sqrt[]{(a^{2}+b^{2})}}&=&1-\frac{b^{2}}{\sqrt[]{(a^{2}+b^{2})}}\\ \frac{b^{2}}{\sqrt[]{(a^{2}+b^{2})}}&=&1-\frac{a^{2}}{\sqrt[]{(a^{2}+b^{2})}} \end{eqnarray} と式変形し, \begin{eqnarray} \frac{a^{2}}{\sqrt[]{(a^{2}+b^{2})}}+\frac{b^{2}}{\sqrt[]{(a^{2}+b^{2})}}&=&1-\frac{b^{2}}{\sqrt[]{(a^{2}+b^{2})}}+1-\frac{a^{2}}{\sqrt[]{(a^{2}+b^{2})}}\\ 2\sqrt[]{(a^{2}+b^{2})}&=&2\\ \sqrt[]{(a^{2}+b^{2})}&=&1 \end{eqnarray} となる. ここで, \(x,y\)を楕円に代入すると, \begin{eqnarray} 1&=&\frac{a^{4}}{a^{2}(a^{2}+b^{2})}+\frac{b^{4}}{b^{2}(a^{2}+b^{2})} \end{eqnarray} から, \begin{eqnarray} x&=&\frac{a^{2}}{\sqrt[]{(a^{2}+b^{2})}}\\ y&=&\frac{b^{2}}{\sqrt[]{(a^{2}+b^{2})}} \end{eqnarray} となり, \begin{eqnarray} x+y=\sqrt[]{(a^{b}+b^{2})} \end{eqnarray} が言えた.

数式コード:\begin{eqnarray} \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{s}}{b^{2}}=1\\ \end{eqnarray} とすると, 三角不等式によって, \begin{eqnarray} (x^{2}+y^{2})&\leq&(a^{2}+b^{2})(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{s}}{b^{2}})\\ (x+y)^{2}&\leq&a^{2}+b^{2}\\ x+y&\leq&\sqrt[]{(a^{2}+b^{2})} \end{eqnarray} と導け, この最大値を求める. \begin{eqnarray} x+y&=&\sqrt[]{(a^{2}+b^{2})} \end{eqnarray} と置き, \begin{eqnarray} 1&=&\frac{a^{4}}{a^{2}(a^{2}+b^{2})}+\frac{b^{4}}{b^{2}(a^{2}+b^{2}}\\ 1&=&1 \end{eqnarray} とし, \(x=a^{2}\)及び\(y=b^{2}\)を仮定すると, \begin{eqnarray} x+y&=&\sqrt[]{(a^{2}+b^{2})}\\ \frac{a^{2}}{\sqrt[]{(a^{2}+b^{2})}}&=&1-\frac{b^{2}}{\sqrt[]{(a^{2}+b^{2})}}\\ \frac{b^{2}}{\sqrt[]{(a^{2}+b^{2})}}&=&1-\frac{a^{2}}{\sqrt[]{(a^{2}+b^{2})}} \end{eqnarray} と式変形し, \begin{eqnarray} \frac{a^{2}}{\sqrt[]{(a^{2}+b^{2})}}+\frac{b^{2}}{\sqrt[]{(a^{2}+b^{2})}}&=&1-\frac{b^{2}}{\sqrt[]{(a^{2}+b^{2})}}+1-\frac{a^{2}}{\sqrt[]{(a^{2}+b^{2})}}\\ 2\sqrt[]{(a^{2}+b^{2})}&=&2\\ \sqrt[]{(a^{2}+b^{2})}&=&1 \end{eqnarray} となる. ここで, \(x,y\)を楕円に代入すると, \begin{eqnarray} 1&=&\frac{a^{4}}{a^{2}(a^{2}+b^{2})}+\frac{b^{4}}{b^{2}(a^{2}+b^{2})} \end{eqnarray} から, \begin{eqnarray} x&=&\frac{a^{2}}{\sqrt[]{(a^{2}+b^{2})}}\\ y&=&\frac{b^{2}}{\sqrt[]{(a^{2}+b^{2})}} \end{eqnarray} となり, \begin{eqnarray} x+y=\sqrt[]{(a^{b}+b^{2})} \end{eqnarray} が言えた.

解説:三角不等式を用いた楕円の証明です。学園大学で昔出題されたそうですが、今回は完全解を導いてみました。楕円と言えば円錐曲線でアポロニウスですが、円の方程式と楕円の方程式と双曲線の方程式はよく似ていて非常に重要だと思います。 かつて、西欧では世界が完全だと考えられていて円の完全性が科学信仰と結びつき楕円は顧みられることがありませんでした。それに加えて楕円の計算は難しくもあります・・・。 ケプラーの3法則には楕円は欠かせません。楕円というのはそもそも円を含んだ概念でもあります。先日テレビで見ましたが渋川春海は太陽を回る地球がが楕円だと気づいていたとか。 江戸時代の人間よりも人間科学をわかってはいたいものですが・・・。 人間の能力は古代と中世と現代ではそう変わることもないところに何となく苦しいものを感じはします。 以上楕円に関する愚痴でした。

出典等:

出典等コード: 元記事へ

この記事の評価は?






コメント:

このサイトはMathJax.jsを利用しています。

MathJaxはこちら

Library Spider Topへ